Markowitz의 포트폴리오 이론(Portfolio theory)

Portfolio Theory

 

Harry Markowitz라는 미국의 경제학자는 Portfolio Theory로 1990년 노벨상을 수상했습니다.

Markowitz의 포트폴리오 이론은 투자자들이 자신의 투자 포트폴리오를 구성할 때, 다양한 자산의 리스크와 수익률을 고려하여 최적의 포트폴리오를 구성하는 방법을 제시한 것입니다. 이를 위해 Markowitz는 자산 간 상관관계를 고려하고, 자산의 수익률과 리스크를 측정하는 방법인 분산과 공분산을 도입하여 포트폴리오의 리스크와 수익률을 계산하는 방법을 제시하였습니다.

포트폴리오 이론은 현대 포트폴리오 이론(Modern Portfolio Theory)의 기반이 되며, 투자자들이 포트폴리오를 구성할 때 이전에는 고려하지 않았던 다양한 요소들을 고려하도록 유도하여 투자자들이 보다 안정적이고 수익성 있는 투자를 할 수 있도록 도와주었습니다. 하지만 이론은 과거의 데이터를 기반으로 만들어졌기 때문에, 실제 시장에서는 예측이 불확실하며, 이론적으로 예측된 수익률과 실제 수익률이 다를 수 있습니다.

그럼에도 불구하고 여전히 실무에서도 유용하게 사용되고 있는 걸 보면, 분명한 한계점에도 불구하고 굉장히 가치있는 연구가 아닐까 싶습니다.

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포트폴리오 이론에서 합리적인 투자자는 가능한 모든 포트폴리오 중 위험과 수익률 모두 최적화된 포트폴리오를 선택합니다. 최적화된 포트폴리오는 다양한 자산의 조합으로 구성되며, 투자자의 투자 목적, 투자 기간, 위험 수용 능력 등을 고려하여 구성됩니다. 결과적으로 보통 위험 대비 예상 수익률이 높은 자산들의 비중을 높이고, 위험 대비 예상 수익률이 낮은 자산들의 비중을 낮추는 경향이 있습니다.

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기대효용 극대화(Expected utility maximization)를 위한 최적 포트폴리오 조합을 찾기위해서는 다음과 같은 선호도 함수를 사용합니다.

 

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여기서 E(Rp)는 포트폴리오의 예상 수익률, Var(Rp)는 포트폴리오의 분산, λ는 투자자가 리스크에 대해 얼마나 감수할 수 있는지를 나타내는 매개변수입니다.

이를 바탕으로한 최적 포트폴리오를 찾기 위한 수식은 다음과 같습니다.

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• ∑ wi = 1 (i=1,2,...,n): 포트폴리오 비중의 합은 1이 되어야 합니다.
• Rp = ∑ wi ri (i=1,2,...,n): 포트폴리오의 예상 수익률은 각 자산의 예상 수익률에 가중치를 곱해서 합한 것과 같아야 합니다.
• σp^2 = ∑ ∑ wij wjk Cov(i,j) (i=1,2,...,n, j=1,2,...,n): 포트폴리오의 리스크는 각 자산의 공분산과 가중치를 곱해서 합한 것과 같아야 합니다.

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여기서 ri는 각 자산의 예상 수익률, Cov(i,j)는 i번째 자산과 j번째 자산의 공분산, wi는 i번째 자산의 비중을 나타내는 가중치입니다.

이 최적화 문제는 포트폴리오의 수익률과 리스크를 최적화하는 포트폴리오 비중을 찾기 위한 문제로, 목적 함수는 선호도 함수 U(Rp, σp)이며, 제약 조건으로는 가중치의 합이 1이 되도록 하는 것과 포트폴리오 수익률과 리스크를 정확히 계산하는 것이 있습니다.

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자산 수익률이 정규분포를 따르거나 효용함수가 2차함수일 경우 Markowitz 포트폴리오 이론을 더욱 간단하게 적용할 수 있습니다.

만약 자산 수익률이 정규분포를 따른다면, 포트폴리오의 기대수익률과 리스크는 포트폴리오를 구성하는 각 자산의 기대수익률과 공분산으로부터 계산할 수 있습니다. 이때 포트폴리오의 기대수익률은 각 자산의 기대수익률과 가중치의 곱의 합이 되며, 포트폴리오의 리스크는 각 자산의 공분산과 가중치의 제곱의 곱의 합으로 계산할 수 있습니다.

따라서 최적 포트폴리오를 구하는 수식은 다음과 같습니다.

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maximize E(Rp) - λ/2 * σp^2

subject to ∑ wi = 1 (i=1,2,...,n)

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이때, 최적 포트폴리오의 가중치는 각 자산의 기대수익률과 공분산을 바탕으로 계산됩니다.

만약 효용함수가 2차함수라면, 효용함수는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

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U(W) = E(Rp) - λ/2 * Var(Rp) - γ/2 * (W - W0)^2

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이때 W는 포트폴리오의 가중치, W0는 목표 가중치, γ는 조정 매개변수입니다. 이 최적화 문제는 다음과 같이 표현됩니다.

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maximize U(W)

subject to ∑ wi = 1 (i=1,2,...,n)

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이 최적화 문제는 2차 제약조건이 없기 때문에 선형 제약조건을 가지는 문제로 변환됩니다. 따라서 포트폴리오의 최적 가중치는 선형 제약조건 하에서 선형 프로그래밍 기법으로 풀 수 있습니다.

 

 

Mean-Variance Optimization(MVO) Model

평균 분산 최적화 모형

평균-분산 최적화 모형은 포트폴리오 이론의 대표적인 모형 중 하나입니다.

투자자가 특정 수익률을 목표로 할 때, 주어진 자산들의 가중치를 조절하여 포트폴리오의 기대수익률과 리스크(분산)를 최적화하는 모형입니다.

포트폴리오의 예상 수익률은 각 자산의 예상 수익률과 해당 자산의 가중치를 곱하여 구할 수 있습니다. 이때, 포트폴리오의 예상 수익률은 각 자산의 예상 수익률의 가중평균이 됩니다. 또한, 포트폴리오의 분산은 각 자산의 가중치와 각 자산의 분산, 그리고 자산 간 상관관계를 고려하여 계산됩니다.

따라서, 포트폴리오 최적화를 위해서는 투자자가 원하는 목표 수익률을 설정하고, 이를 달성할 수 있는 가장 최적화된 가중치 조합을 찾는 것이 중요합니다. 이를 위해서는 다양한 가중치 조합을 시도하여 포트폴리오의 예상 수익률과 분산을 계산하고, 이를 바탕으로 최적화된 포트폴리오를 선택합니다.

이렇게 최적화된 포트폴리오는 Efficient Frontier(효율적 투자선)라는 선 위에 위치하고 있습니다.

Efficient frontier(효율적 투자선)은 포트폴리오 이론에서 매우 중요한 개념 중 하나입니다. 이 개념은 가능한 모든 포트폴리오 중에서 투자자가 원하는 수준의 위험에 대해 최대의 예상 수익률을 제공하는 포트폴리오의 집합을 의미합니다.

Efficient frontier는 수익률과 리스크(분산) 사이의 트레이드 오프 관계를 보여주는 곡선으로 표현됩니다. 이 곡선은 각 포트폴리오의 예상 수익률과 분산을 기반으로 구성됩니다. 효율적 투자선의 모든 포트폴리오는 다른 포트폴리오보다 적어도 하나의 면에서 더 나은 예상 수익률을 제공하면서 같거나 작은 위험을 가집니다.

효율적 투자선은 투자자가 위험 수준을 증가시키면서 원하는 수준의 예상 수익률을 달성할 수 있는 최적화된 포트폴리오들의 집합을 나타냅니다. 따라서, 투자자는 이러한 포트폴리오들 중에서 선택하여 자신의 투자 목표와 위험 성향에 맞는 포트폴리오를 구성할 수 있습니다.

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그 중에서도 효율적 투자선에 가장 큰 Sharpe Ratio를 가지고 있는 포트폴리오를 Tangent Portfolio(접선 포트폴리오)라고 합니다. 이 Tangent Portfolio는 위험 대비 초과수익이 가장 큽니다. 이 접선 포트폴리오를 시장 포트폴리오라고도 하는데, 시장에서 거래가능한 모든 포트폴리오를 시가총액 비중에 따라 가중평균한 것입니다. 시장 포트폴리오는 가장 효율적이고 주어진 위험에서 가장 높은 수익률을 가진 포트폴리오이기도 합니다.

Tangent portfolio를 계산하는 수식은 다음과 같습니다.

Tangent portfolio의 기대수익률 (Rp) = Rf + (E(Rm) - Rf) / σm * σp*

여기서 Rf는 무위험 수익률, E(Rm)은 시장 포트폴리오의 기대수익률, σm은 시장 포트폴리오의 리스크(표준편차), 그리고 σp*는 Efficient Frontier 상에서 Tangent portfolio와 무위험 자산의 조합으로 구성된 포트폴리오의 리스크(표준편차)입니다.

Tangent portfolio는 Efficient Frontier 상에서 무위험 자산과의 교점으로 표현됩니다. 따라서 위의 수식을 이용하여 Efficient Frontier 상에서 무위험 자산과 Tangent portfolio의 교점을 찾을 수 있습니다. 이 교점에서 Tangent portfolio의 가중치를 계산하면 됩니다.

Tangent portfolio의 가중치 계산은 다음과 같습니다.

Tangent portfolio의 가중치 (wi*) = (E(Ri) - Rf) / (σi * σp*)

여기서 wi*는 각 자산 i의 Tangent portfolio에서의 가중치를 의미합니다. 따라서 Tangent portfolio를 구성하는 자산의 가중치는 각 자산의 Tangent portfolio 가중치를 구한 후, 정규화(normalization)하여 구할 수 있습니다.